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  扬州大学 硕士学位论文 微分同胚群和矩映射 姓名:陈玮玮 申请学位级别:硕士 专业:基础数学 指导教师:蒋声;王宏玉 扬州大学硕士学位论文 中文概要 Atiyah和Bott指出:将曲率视为规范变换群作用在联络空间(曲面上丛的联 络形式形成的空间)上的矩映射,以及此观察的一些扩充,促进了许多的工作 而且提供了理解规范场里许多现象的基本的框架。本文的目的是在微分同胚群作 用的框架下,翌地誉似的思想,我们希望矩映射的观点是有用的,无论是在理解 分析和几何已有的结果上还是在提出新的问题上。 本文主要讨论微分同胚群作用下的矩映射,以及此种作用下的辛商,最后讨 论为了研究稳定点,辛商与复商的关系等等而研究的(M,Q)上某梯度流的一些问 题。首先,我们将看到微分同胚群作用下矩映射存在,且具体给出。类似的,辛 同构群作用下的矩映射也存在。接着,我们看到在规范场里,紧的,可定向的二 维黎曼流形上的主丛,若结构群是紧的或半单的,则相应的联络空间可视为无穷 维的辛流形。规范变换群作用在联络空间上,矩映射为曲率。然后,我们将看到 微分同胚群作用下的辛商为特殊子流形模空间上的以环面为结构群的丛。最后 我们来研究(M,Q)中的梯度流,以讨论四中所述矩映射几何中的一些问题。在这 里,由于梯度流方程不是通常的抛物方程,其解的情况我们不确定,故我们来研 究一些合理的情形,即其中梯度流方程可以转化为一些易研究的方程。通过研究 转换后流的方程,从而研究(M,Q)中的梯度流方程。 辣玮玮 微分耐髓群和矩映射 Abstract。 andBott the out讯atcurvatureofaconnectionOilabundlea Atiyah pointed over beviewed surfacecarl as tOtheactionofthe the“momentum’’corresponding gauge withvarious stimulateda dealof extensions,has group.Thisobservation,together great workand a frameworktounderStand in providesconceptual many phenomena inthis isto similar the Yang-Millstheory.Our ideasin purpose paper explore frameworkof toshowthatthemoment of diffeomorphismgroups,Wehope mappoint view in isuseful,both certainestablishedresultsandalsoin understanding suggesting new in and problemsgeometryanalysis. This discussthe of,whetherthemomentexistsinthe mainly paper topics map framework willseethatthemoment ofdiffeomorphismgroup(we exists!),and map the in thisframework..Atlastwe a flowinkahler symplecticquotient studygradient casesforthe the of relationbetweenthe and purposestudying symplectic complex theroleof see will thatinthe quotient,and stability.Firstly,we frameworkof moment the existsand intheframeworkof diffeomorphismgroup map similarly it We existstoo。Thenwillseethatthe ofconnectionsofa symplectic space group G-bundleover oriented2-dimensional principal Riemannianmanifoldis an infinite-dimensional theaction manifold,andofthe transformation symplectic gauge onthe ofconnectionsis and hamiltonianthemomentisthecurvature+And space map thenwe the willseethatin framework the ofdiffeomorphismgroupsymplecticquotient istoms bundleoverthemoduli submanifold.Atlastwewill discussthe space ofspecial flow the flow isnot and in(膨,筠。While gradient gradient equationusuallyparabolic we be cannotsure whethersolutionsexistevenforashorttimewithsmooth initialdata. SOwewill examinesome sensiblecases. 扬州大学硕士学位论文 符号说明 M 表示一般的流形 M 表示一般的流形或特指S_÷M的光滑映射形成的流形 G’ 表示主丛P的规范变换群 G” S的保体积的微分同胚群 g≯ 恰当的辛同构群 99 辛同构群 D汐(M) M斗M的微分同胚群 Syml(M,∞)(M,∞)的辛同构群 旃v 散度 grad 梯度 £,@) 李导数 Q‘(S) s上k形式全体 % 李群的内自同构 Ade+ 李群的李代数的对偶空间的自同构 陈玮玮 微分同胚群和矩映射 微分同胚群和矩映射 丛的联络形式形成的空间)上的矩映射,以及此观察的一些扩充,促进了许多的 工作,而且提供了理解规范场里许多现象的基本的框架。本文的目的是在微分同 胚群作用的框架下,寻找类似的思想,我们希望矩映射的观点是有用的,无论是 在理解分析和几何已有的结果上还是在提出新的问题上。 一. 辛几伺里矩映射的定义 1.矩映射的概念为哈密顿函数的推广 满足: V毒∈Lie(G), (1)a(u,孝)=f堋)(Q), Vg∈G. (2)卢。%=Ad:。l,t, 对于某辛作用,如果满足上述两条的∥存在,则称此作用为哈密顿作用。 (M,Q,G,∥)称为哈密顿G一空间。 2.矩映射由来及背景 李群O作用在M上是指群同态:妒:G--9.Diff(M) g卜÷% · 某作用称为辛的,如果y:G斗syml(M,∞)cD够(M). 那么我们如何来定义某作用是哈密顿的呢? 由于{R在M上的作用)卜£吗{肘上完备的辛向量场),故我们无法根 据向量场是哈密顿的来定义某作用(对于一般的G而言)是哈密顿的。于是我们 将哈密顿函数推广: 扬州大学珂j士学位论文 ·R作用在(M,Q)上是哈密顿的,如果存在一个函数Ⅳ,使得栅=i v.。Q 其中x是M上由此作用生成的哈密顿向量场。 满足上述定义中的两条(即矩映射存在)。 3.辛商 为哈密顿G·空间.i:∥“(0)-÷M为浸入映射.假设G自由作用在/.t“(0)上,则: t 轨道M“=/.t。(o)iG是一个流形, + 石:∥“(0)_Md为一个主丛,结构群为G, $ Md上有~辛形式∞“,满足i*oJ=石’E-Ored, 二.规范变换群作用下的矩映射 1.主从上的联络空间为辛流形 群为G。假设结构群G是紧的或半单的,则相应的联络空间A可视为无穷维的辛 流形。 这是因为:A是一个仿射空间,它在每一点处切空间等同于线性空间 A。=(Q:。pg)6,对于李代数g的一组基X.,…XI,元素口,b∈A’写成 口=∑口,@Xi,b=∑blo工, ∞:A’x4’_(n:劬(p))6兰Q2(丑)斗.R CO是一个非退化,反称双线性型,且不依赖于仿射空间的基点。则(A,∞)为辛流形。 2.设G’为主丛P的规范(变换)群. 陈玮玮 微分同胚群和矩映射 G‘作用在(A,国)上是哈密顿的,矩映射为 ∥:A啼(Q2(P)og)6 A斗curvA , 即矩映射是曲率 三. 微分同胚群作用下的矩映射 背景:我们知道规范场里规范变换群作用在联络空间上,矩映射存在为曲率. 下面我们要讨论微分同胚群作用下的情形。此段我们将会给出微分同胚群作用下 的矩映射。 1.保体积微分J司胚群作用的情形 S为紧七维流形,其上有一固定的体积形式盯∈Q‘(S)。(M,co)为辛流形。金沙线路检测网址M 为S到M的光滑映射(在某个固定的同伦类中)形成的无穷维空间(它在点,处的 切空间可视为f’(zM)的所有截面形成的空间)。其上有一自然的辛形式Q, Q∽w)2 I国(V,w)a, 辛作用。 性质1:H1(s)=o,b]=0,G”作用在(M,Q)上为哈密顿作用。 证明:即要证卢存在!这由性质二可知。 l 厂’(∞)=da,那么对于S的任意向量场善,我们可以定义 (吼善)=f口(善炒, 则上诉定义给出了Lie(G”)上的一个线性映射,即Lie(G’’)’中的某元素。 扬州大学硕士学位论文 选取。这是因为,假设 ,+(co)=da=da’, 贝0口一d‘闭——旦』三2=生啼口Ld恰当,即at-d=d鲁,又由于 零,第三个等号是由于stokes公式及条件。则上述线’陛映射:孝H(口,掌)可记为 /a(f)。 . 于是我们得到了M叶Lie(G”)+的一个映射,卜÷/z(f). 射。 证明:,为S寸M的一个映射,v为f‘(肼)的某截面,善为S上保体积的向量 足:^=f,导数为v,要证 d(∥,孝)=f州)n, 即要证 d(/2,善)(v)=t‘x(f)Q(v),VveTM/, 即要证景∥(z)(掌)=Q(V,肖(掌)),由于 瓦dZ+(国)=£,(国)=弧∞)) 令Z’(∞)=da,,则导口,=f,(国),放 at 丢砌)(舻丢拟护 陈玮玮 微分同胚群和矩映射 =.【争心p =ffv(∞)(,善弦 =p(V,L(O)o =Q(v,x(o) 作用在(M,Q)上的矩映射。上述构造中Ⅳ1(S)=0是重要的,它保证了在保体积的 微分同胚群作用下(口,亭)不依赖于口的选取,从而使构造合理a 注2:如果S,M的拓扑改变,类似于上述的构造仍能给出相应的微分同胚群 作用下的矩映射。 例如日1(s)≠o,厂’b】≠0,我们可如下处理: (1)日1(回=o,f+b】≠0, 在,‘【∞】中选一固定元,,取a∈Q1眵),使得f+甜一y=da。下面的过程类似。 (2)日’(S)≠0, 的核,Go。的李代数可等同于恰当的n一1形式,类似于前面的构造,也可得到矩映 射。 四中我们将要具体讨论辛商的相关内容。 2.辛群作用的情形: 此段给出辛群g”作用在M,Q)上的矩映射! 扬州大学硕士学位论文 H。(S)=0。此时辛同构群的李代数为S上积分为零的函数全体,其上有一不变的 上2内积。 性质3:99作用在(M,Q)上为哈密顿作用。 证明:这由下面的性质4易知。 g”的李代数为所有辛向量场形成的空间,由于Ⅳ1(S)=O,所有辛向量场为哈 密顿向量场,设F为S上的函数,靠为其生成的哈密顿向量场。给定M中元素f 我们如下构造一个Lie(g”)上的线 =击f肋∥“ =寺f可№)∥。 ra =pH =(,,_), 其中Ⅳ,盯=五1,‘∞)^p“,这里H,为s上的函数。第三个等号是由于计算了 d(a^F^P7一‘)=da^F^p 7~一a^dF^P7~一口^F^a,o’一1 于是我们得到肘呻Lie(99)‘的一个线性映射:,卜÷H, H1(S)≠0我们有: 性质4:映射,一H,为恰当辛同构群作用在(膨,n)上的一等度的矩映射。 陈玮玮 微分同胚群和矩映射 注l:H‘(S)=0,辛向量场为哈密顿向量场(这是因为:向量场Ⅳ辛 §d(i。(p))=0—旦吗0(p)=dH§向量场Ⅳ是哈密顿的), 故辛同构群gm 函数})。 函数H,.(即此时矩映射是以f寸H,的形式给出的!) 四.矩映射几何的概要 我们介绍一些标准的构造,作为下文的背景。具体见[4]【5]。在这其中重点介 绍有限维情形。当然对于本文所讨论的无穷维流形,这些构造形式方面将会很快 过得去。 商: M//G=Ⅳ。(O)/G, 假设G的作用扩充到复群G。的作用,(我们有)复商: M/G。. 那么至少在“稳定点”开集上:有 M//G=MGc. 由此,我们看到辛商有自然的Kahler结构。 稳定点的讨论等等,被(M,Q)上的某流所阐述。流的方程: 扬强走拳鹾圭学位论文 …“ (1) 譬=Ⅸ(∥(x)) 竹 其中x④∈M,I袭示掰弱乎瑟中复乘法静遴鬻撵用。(诧滚为M主函数测{二豹 梯度流,此梯度流保持M中的G。轨道.) 稳定点:沆囱∥瓣零点的那些点。 3.超Kahler情形:我们有吖。t三个复结构z,J,K:满足圆元数的代数关系(即 上相同的黎曼度量。 强,F:,肫,把它稻敬在一莛,形成一个浃射 竺彤甘Lie(G)‘固胄3, 超Kahler亵为la。fO)/G,继承了籁Kahler嚣襁。 G作用在超Kahler流形肘上,G的李代数有不变内积。 梯度流方程为。磊dx=ix(M(x))+JX(,u:(x))+KZ(地。)). 五.微分同胚群作用下的辛商 醮疫我粕藏采余绥一下三孛掰述熬赣分黉戆群终蘧在映掰空阗(M,Q)上豹 辛商。遮里s,M是满足除三中条件外还满足其窕一些条件的流形。 1.特殊Lagrangian子浚形的情形 实r/维子滚形JP满足; 1)0限制到P上为实拧形式, 陈玮玮 微分同胚群和矩映射 2)∞限制到P上为0,即P为辛几何通常意义下的Langrangian子流形。 s为紧”维流形,盯为其体积形式。M为复H维流形,其上有一非退化的全纯 用在(M,Q)上为哈密顿作用,矩映射在三中已具体给出。当,‘(oJ)=0时,,为矩 G”保持Ⅳ不变。 更进一步,Jv为M的复子流形。这是因为,考虑映射 T:M呻{S上复”形式),厂斗,‘(臼)一d,.to∈N处的切映射为一个线形映射D, 步,D是复线)形式),故Ⅳ为M的复子流形。 Lagrangian子流形的模空间在此就是辛商N//G”a 离散的。那么对于日1岱)≠0,又如何? G:作用在Ⅳ上,辛商为特殊Lagrangian子流形的模空间上的以环面为结构群 的丛。. 2.LS.子流形的情形 LS.子流形的定义:M为一复辛流形。故有一全纯辛形式0∈H 210(M)。我们称 浸入子流形P 是Lagrangian子流形,同时关于虚辛形式Im(O)是辛子流形。 扬州大学硕士学位论文 同构群。则:gr作用在(M,Q)上为哈密顿作用,矩映射己在三中给出。 Ⅳ={厂1厂’(口)=和), 类似于前面,N为一无穷维流形。gr保持N不变。 cM的模空间上的以环面为结 g≯作用在Ⅳ上,Kahler商N//gg为子流形P 构群的丛。其中P满足: ∞.1,=0,脚:I,非退化 ,国,,^∞;~=c∞;, 其中c为映射所在同伦类所决定的常数,q=Re(0),09:=Ira(0),%=03. 一般的理论告诉我们此模空间上的以环面为结构群的丛继承了一自然的 Kahler结构。 总结:这样我们便在两种给定的微分同胚群作用的框架下,了解了微分同胚群 作用的辛商。 六.微分同胚群作用下的关于四1.中思想的讨论。 这一部分我们就来研究为了讨论稳定点,辛商与复商关系等等而研究的 (M,Q)中流(1)的一些问题。 Lie(99)有一不变内积(假设H1(S)=O)). g”作用在(M,Q)上,符合四1.中所讨论的情形,我们想要讨论在此情形下, 四中所讨论的问题会有一些什么结果: t (1)一方面,我们可以在G。轨道中寻找矩映射的零点。 (2)另一方面,我们可以研究(M,d)中的梯度流。但是我们不清楚在一般 的情形下,研究此流是否合理,因为梯度流方程不是通常的抛物方程,我们不能 肯定光滑初值,小范围内的解是否存在。下面,我们来研究一些合理的例子(即 陈玮玮 微分同胚群和矩映射 给M,s加以适当条件,使得梯度流方程转化为一些可研究的情形),研究变换后流 的方程,从而来研究(M,Q)中的梯度流(1)。 的辛流形。考虑的是:可定向的微分同胚。则,保定向的微分同胚,与M上止函 数,,之间有下述的对应。于是可以通过研究,,中流的方程,从而研究(M,Q)中梯 度流的方程。 具体过程如下: 1,保体积的微分同胚,定义了M上的面积形式(厂+)“(p),我们记为J o_fI., 即厂决定了M上的一个正函数。反之,相对于99的作用M上正函数,,决定了 (M,Q)中保定向的微分同胚,。 2.(M,Q)中梯度流的方程为: 甜d--f,=脚(,) 由于此处为辛群作用,矩映射由f卜÷H,给出,故梯度流的方程为: 讲d--f,=阢(缸(』)) (2), “表示由H生成的哈密顿向量场,Ⅳ(厂)为矩映射,即日(厂)=f+(w)Ip。易知: 日(厂)为厂与巧’的复合。如在工下的像为国Md(巧1),对(2)两边求散度: 鲁屯=折(矾如。‘))=divgrad(Jz-‘), 即得:M上Y;gJ,的流的方程: 鲁J=州’ (3) 扬州大学硕士学位论文 得到¨,,=∽。f0即满足(2)。 4.结论:(3)对于任何初值,。,解都全局存在,且趋于常函数. 故(2)对于任何初值五(,(o)=,^),解都全局存在,且趋于矩映射的零点(Jr为 常函数就意味着,为矩映射的零点,因为常函数作用平凡)。 基于对上述过程的观察,我们可以给出下面定理的一个证明方法. 定理:M为一闭的,连通的光滑流形,d为M上的体积形式,则Dtff(M)可形变 收缩到D0乳(M,仃)。 此定理为M。ser’s定理([6】)的一个推论。我们可以这样证明它:假设p=五, 设 n。=pfp._丑), 易知Q。是凸的(故是可缩的)。考虑:_D汐(M)作用在Q。上,作用如下: (f,盯’)=f‘盯‘ , .V f∈Diff(M),盯’∈Q^, 凸的,故D汐(M)形变收缩到D£乳(M,仃)。 此证明中并没有给出从D/if(M)到D0以(M,盯)的形变收缩,下面我们将通过 给出形变收缩的方法,而给出此定理的另一证明。此形变收缩是由一矩映射型的 流给出的。 准备知识:在M上固定一黎曼度量(使得其诱导的体积形式恰为仃)。 vf∈D汐(M),(f。)+p)为M上另一体积形式,我们可将之写为: 陈玮玮 微分同胚群和矩映射 (厂“)’p(z))=uf(y)盯(y), 此处Y=,O),“,∈C。(M;JR+)为由厂决定的M上的光滑正函数。 (4) 考虑下酣拟线苫”(了gradu) 对于任何初值“,∈C。(M;R+),由拟线性抛物方程的理论,初值问题(4)局部 j 可解,且解光滑,唯一,光滑依赖于初值.进一步,解全局存在,且当t 0(3时在c”中 收敛于常函数CI。 为了显示解依赖于初值,我们将解记为u(y,f,厂).u(y,,,,)光滑依赖于/.由 “弘『’门我们得到M上依赖于时间的向量场置o)。鲫以丽f丽),令¨为由 面的引理: 。 引理1 , (Z-1)’(盯(x))=u(y,t,厂)仃(y) 这里Y=Z(x1. 边关于t求导,得 丢((工。)+盯)=O(k盯)=瓦Ok仃, 又由于,由爿,生成,故我们有 丢((z1+咖(/:1’工扩 =上叫∥(肭+盯 :L一,金沙线路检测网址(f“)’盯 扬州大学硕士学位论文 =Lkcr =一(div(kX,))盯 :一矾。(妇。d(上))盯 故我们有: 』O_优okt=-div(kgrad(1“)) (6) I 尼(·,0)=“,(·) 由于U满足(6),又由于解的唯一性知k=U,引理证毕。 定理的证明: W…’’’ L(,‘)4(∞=JF=voI(M)舯 由(/:。)’(仃)=nO.我甘】有 u(y,r,f)cr(y)=vol(M). “ lLm(Z“)’(仃)=c,仃=盯, 故氕∈D6以(M,盯). 定义映射F:【O,l】×Diff(M)一Diff(M) F(s,f)=f¨n F是连续的,这是因为“(·,t,/)光滑依赖于初值“,,且1imⅣ(弘,,厂);1.我们易知下 面的三条: (1)对于F(O,f)=f,V∈Diff(M), (2)对于F(1,,)∈D自%(M,盯) ,b,,∈Diff(M), (3)Xel , VO≤J≤l, Zy-F(s,.)l嘟i(肘一,=耐『D柝(M,引 陈玮玮 徽分嗣聪群和矩聩射 i9 故F为D够(M)至1]Diffv(M,盯)的一个形变收缩。 定理谨牮。 注1.当M为~紧黎曼曲面,形变收缩就是凼前面所讨论的梯度流而来。此处 的构造霹税秀蘸露恣褰鲍一个推广。 6.2.M为(复维)紧Kahler流形, s为微分同胚于M的辛流形,考虑的映射 仍为S叶M的(可定向)的微分同胚, 则问题可转化为关于船=(Z‘)“(P)的梯度 浚方鬈。 我们可以将梯度流方程(1)写成关于辛形式Z,=∽‘)“(p)的方程: d 一 磊z一。毛描z, , 此处直为Ⅳ,的哈密顿向孱场,其中H,z”釜脚^z”‘. 如聚初值满足一定煞条传我们弼利蹙kahler势,将睡题转化为一个撼物型方 疆。 现在我们要考虑的是初值甄为(1,1)型的芷形式(即:舶为复流形M上的第 ‘ ’ 坠dt即≮焉筹,④《熬+渤磊)“ 一 此方程为抛物方程,接着可以考察类似于前面的~系列问题。 塑型茎堂型主兰堡垒苎 一20 参考文献 M·F And over AtiyahR.Bott,The Riemann Yang-Millsequations s“rfoces.Philosophica irans·Roy·Soc·London,SeriesA,308(1982),PP.523—石15. on in 【2]S.K.Donaldson,Remarksgauge theory,c。mplexge。metry口d乒一Ⅲ口Hifold t9P。,09n TheField’s Medal Volume,World scientific,1 998,PP.384—^403. [3].S.K.Donalds。n,Symmetric Proc. sp口ces,Kah&r暑e。mP砂口”dhamff∞”胁”咖H口卅胁,in No,hemCaliforniaseminar on and SymplectieGeometry,Weinstein Eliashberg,ed.,To appear. C.Kirwan,Coh。m。logy [4].E ofQ“otie”ts加品唧,8crfc口nd Alge6,口fc U.P.1984. [5]5 N.J.Hitchin,A.Karlhede,U.Lindstrom,And in supersymmetry.Communications Math.Physics,108(1987),pp.535-89. the volumeelementsona [6】.J.K.MoserOn 965). 286.294. in in 【7].C.H.Taubes,StabilityYang-Millstheories,Communications PP.235-263. da Cannas On 【8】.Ana Silva,Lectures I764. SymplecticGeometry,LNM 陈玮玮 微分同胚群和矩映射 致 谢 本论文是在王宏玉老师的悉心指导下完成的,三年来,无论是在学习方面 还是生活,做人方面,蒋声教授和王宏玉教授都给了我许多无私的教诲,他们严 谨的治学态度,高尚的为人,都对我产生了深刻的影响。在这里,我深深地感谢 蒋声教授和王宏玉教授对我的殷殷关切和谆谆教诲,并祝愿他们身体健康,工作 顺利! 扬州大学硕士学位论文 攻读学位期间发浚的学术论文目录 奇昴线性模型相对效率的下界估计,扬州大学学报,2003第6卷:21-23 微分同胚群和矩映射 作者: 陈玮玮 学位授予单位: 扬州大学 引用本文格式:陈玮玮 微分同胚群和矩映射[学位论文]硕士 2004

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